Julien Bernard-Recherche et enseignement en philosophie.

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Weyl et les espaces à connexion

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Weyl et les espaces à connexion

Aller et retour entre philosophie et mathématiques

Conférence sur invitation à l'UFR  de Mathématiques de Lille 1, organisée par R.Tazzioli, 19.04.2012

Document de travail (PDF)

Diapositives

Résumé


En 1916, Hermann Weyl est enthousiasmé par la lecture des Fondements de la théorie de la relativité générale d’Einstein. Il comprend que la philosophie de l’espace a rencontré un des tournants majeurs de son histoire. Un des aspects de cette révolution est de nature proprement physique : la découverte de lois de la gravitation plus exactes, prenant en compte la propagation du champ gravitationnel. Mais un autre aspect intéresse au plus au point Weyl : les nouveaux rapports que cette théorie de l’espace donne à penser entre mathématiques et physique en géométrie.


Désormais, la théorie mathématique qui rend compte de la structure de l’espace au niveau fondationnel est la géométrie différentielle. Celle-ci fixe a priori l’infinitésimal mais laisse indéterminée la sphère des relations à distance finie. Ainsi, la métrique riemannienne a-t-elle une forme générale fixée, celle d’une forme quadratique différentielle, mais les coefficients de cette forme diffèrent d’un espace de Riemann à l’autre, produisant potentiellement une infinité d’espaces métriques dont la courbure varie dans l’espace de manière libre.


Weyl se lance dans alors dans une entreprise de refondation philosophique et mathématique de l’espace, qui place au cœur du débat la rupture épistémologique entre le domaine de l’infinitésimal et le domaine des relations à distance finie. Ce programme recouvrera la période 1916-1923. Weyl montre que ce qui doit être fixé a priori dans la notion d’espace est double. Cela recouvre premièrement la structure locale infinitésimale telle qu’elle s’exprime à travers l’espace tangent, et deuxièmement la connexion qui est le mode de raccord des espaces tangents entre eux. Mais la connexion qui est apparue chez Levi-Civita à partir de la notion d’espace de Riemann révèle des imperfections. Cela révèle que Riemann s’est arrêté à mi-chemin dans le projet de rendre pleinement infinitésimale la géométrie. L’enjeu de Weyl est d’achever le mouvement initié par Riemann et de parvenir à une géométrie infinitésimale pure, mathématiquement plus parfaite, car reposant sur des présupposés épistémologiques sûrs et pleinement assumés.


Notre intervention partira ainsi d’une caractérisation générale du point de vue épistémologique défendu par Weyl à propos de la notion d’espace. Nous pourrons ensuite montrer comment, à partir de ce point de vue, Weyl a pu généraliser la notion de connexion et lui donner un rôle fondateur pour l’ensemble de la géométrie différentielle. Ceci étant fait, nous évoquerons l’analyse mathématique du problème de l’espace, qui est le résultat algébrique essentiel que conçoit Weyl pour justifier en dernier lieu sa position philosophique sur l’espace. Ainsi aurons-nous accompli notre aller et retour entre la philosophie et les mathématiques de Weyl.

Last Updated on Monday, 04 February 2013 14:14  

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