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Weyl et le problème de l'espace

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Weyl et le problème de l'espace

Conférence sur invitation au séminaire "Philosophie et physique" (SPHERE/ Univ. Paris 10), organisé par A. de Saint-Ours, E. During et A. Afriat, le 01.02.2013.

Diapositives

Résumé

En 1921, Hermann Weyl conçoit ce qu'il appelle le nouveau problème de l'espace qui consiste, dans le cadre de la géométrie infinitésimale, à justifier que la métrique doit avoir un caractère quadratique, mais que ses coefficients, tout comme ceux de la connexion, doivent varier librement. Il dégage alors quelques principes a priori qui suffisent à résoudre ce problème, comme le démontre le théorème mathématique auquel il parvient. Dans un premier temps, Weyl ne publie pas la démonstration mais uniquement l'énoncé du théorème dans la 4ème édition d'Espace-Temps-Matière.

La démonstration de Weyl ne parait qu'un an plus tard, à peu près simultanément à une autre démonstration proposée par Elie Cartan. En mars 1922, Weyl explicitera tous les présupposés mathématiques et philosophiques de son problème, et exposera la démonstration de son théorème dans une série de 8 conférences, données à Barcelone puis à Madrid, qui seront publiée en 1923 en allemand sous le nom de Mathematische Analyse des Raumproblems. Le travail présenté pendant cette conférence est lié à la traduction en français de ce texte, entrepris par Eric Audureau et moi depuis 2010, et qui touche bientôt à sa fin.

Notre conférence dessine l'ensemble du parcours philosophique et technique accompli par Weyl dans ce  cycle de conférences:

  • I. Les prémisses philosophiques et l'articulation entre les différents domaines de la gémétrique (topologie, affine, conforme, métrique).
  • II. Le passage à une position mature du problème de l'espace, après 1) la transition des géométries synthétiques aux géométries analytiques (Riemann), et même à la géométrie infinitésimale pure, 2) la découverte du caractère dynamique de la métrique qui oblige à considérer la multiplicité des métriques pouvant se "réaliser" physiquement dans différentes circonstances matérielles (Einstein).
  • III. La résolution du problème de l'espace à la Helmholtz-Lie.
  • IV. La résolution du nouveau problème de l'espace (Weyl) par la caractérisation algébrique (théorie de la réduction des endomorphismes) de l'algèbre de Lie des "rotations" de l'espace.

Nous montrons que, bien plus qu'un simple supplément à Espace-Temps-Matière, ce cycle de conférences est la clef de voute du système philosophique que développe Weyl autours de la notion d'espace de 1917 à 1923. L'idéalisme de Weyl s'y exprime avec la plus grande clarté et force ; notamment grâce au passage de la dualité 1) forme (a priori) = espace / 2) matière (a posteriori), qui servait à poser le problème dans une tradition dérivée de la Critique de la Raison Pure, à la figure ternaire 1) forme=espace/2) métrique/ 3) matière, où la métrique a pour ainsi dire un statut intermédiaire entre forme et matière, entre a priori et a posteriori, la nature de la métrique étant fixée a priori, tandis que la variation quantitative des coefficients est déterminée a posteriori.

Conformément à l'affirmation de Weyl, le problème de l'espace nous donne un rare exemple d'un problème de philosophie de la connaissance qui s'exprime en dernier lieu à travers la résolution d'un théorème mathématique qui met en jeu des théories mathématiques belles et profondes : la théorie des groupes et algèbres de Lie, celle de la résolubilité des systèmes d'équations différentielles partielles, et la théorie de la réduction des endomorphismes appliquée aux endomorphismes "multiplication par crochet de Lie". Les plus beaux outils algébriques aux services de la défense de la cause idéaliste de Weyl.

Last Updated on Monday, 04 February 2013 14:20  

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